Peano 算術 (PA)
公理。組$ (\N,0_{\in\N},S_{:\N\to\N})は以下を滿たす
$ 0\in\N.
後者 (successor)$ \forall n_{\in\N}\exist Sn_{\in\N}
$ \neg\exist n_{\in\N}(Sn=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\ne m\to Sn\ne Sm).
述語$ Pに關する公理圖式 (數學的歸納法)$ (P(0)\land\forall n_{\in\N}(P(n)\to P(Sn)))\to\forall n_{\in\N}P(n) 加法$ +:\N\times\N\to\Nは以下を滿たす
$ \forall n_{\in\N}(n+0=n).
$ \forall n,m_{\in\N}(n+Sm=S(n+m)).
乘法$ \times:\N\times\N\to\Nは以下を滿たす
$ \forall n_{\in\N}(n\times 0=0).
$ \forall n,m_{\in\N}(n\times Sm=(n\times m)+n).
後者は$ S0を加法で作用させる (足す) 事に一致する$ Sn=n+S0